FRACCIONES

Una fracción expresa partes de la unidad:

• Un numerador representa las partes que elegimos de la unidad.
• El denominador representa el número de partes en que dividido la unidad.

TIPOS DE FRACCIONES:
Hay tres tipos de fracciones:

• Propia, si el numerador es menor que el denominador. 16/20
• Impropia, si el numerador es mayor que el denominador. 12/9
• Representa la unidad, si el numerador y el denominador son iguales. 8/8 

FRACCIONES DE UNA CANTIDAD:
Para calcular la fracción de una cantidad multiplicamos la cantidad por el numerador y el resultado lo dividimos entre el denominador.

Ejemplo
Pedro llevaba una garrafa de 35 l. Se encontró con Marta y ésta le dijo que la garrafa que llevaba ella era los 3/5 de la de él. ¿Cuántos litros contenía la garrafa de Marta?

En este caso tenemos que calcular 3/5 de 35 l, o lo que es lo mismo, tenemos que calcular la fracción de una  cantidad:

 3 · 35 = 105 = 105 : 5 = 21 => La garrafa de Marta contenía 21 l.

                              5           5

Para practicar

http://www.educa.madrid.org/web/cp.beatrizgalindo.alcala/archivos/fracciones/fracciones/hallanumero.html

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/fracnum/fracnum_p.html

http://mates2esoiesvictoriakent.files.wordpress.com/2010/11/fraccion_de_una_cantidad3.pdf

http://centros3.pntic.mec.es/ceip.federico.de.arce/hot%20potatoes/multi3.htm

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Un número es divisor de otro cuando al realizar la división el resto es cero, la división es exacta.

El máximo común divisor (MCD) de un conjunto de números es el mayor de los divisores comunes de esos números.

Ejemplo
Calcular el máximo común divisor de 8 y 12
Divisores de 8 => 1, 2, 4, 8
Divisores de 12 => 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores comunes => 1, 2 y 4
Por lo tanto, MCD (8, 12) = 4

Al igual que para calcular el mcm, se puede utilizar el método de factorización para resolver de manera sencilla el cálculo del máximo común divisor. El cálculo se realiza siguiendo los siguientes pasos:

1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números.
2. Tomamos los factores primos comunes con el menor exponente. El máximo común divisor será el producto de todos estos números.

Ejemplo
Calcular el máximo común divisor de 20, 8 y 12. 

1. Descomponemos los números en factores primos:

2. Tomamos los factores primos comunes con menor exponente: 
Así, tenemos MCD (20, 8, 12) = 22 = 4


Para repasar
http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/max_y_min.pdf
http://www.i-matematicas.com/recursos0809/1ciclo/divisibilidad/interactivo/MCDmcm.htm

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo (mcm) de un conjunto de números es el menor de los múltiplos comunes de esos números.

Ejemplo
Calcular el mínimo común múltiplo de 8 y 12
Múltiplos de 8 => 8, 16, 24, 32, 40, 48...
Múltiplos de 12 => 12, 24, 36, 48...
Múltiplos comunes => 24, 48, 72
Por lo tanto, mcm (8, 12) = 24

Para obtener el mínimo común múltiplo de varios números existe un método más rápido que se basa en la descomposición factorial. El cálculo se realiza siguiendo los siguientes pasos:

1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números.
2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. El mínimo común múltiplo será el el producto de todos estos números.

Ejemplo
Calcular el mínimo común múltiplo de 6, 8 y 9

Ahora tomamos los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente: 2³  y  3²
Así, tenemos mcm (6,8 y 9) = 2³ · 3² = 8 · 9 =72
Pasarán 72 días hasta que vuelven a coincidir. <sup>. 

Para repasar
http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/multiplosydivisores/mcm/mcm_p.html
http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/unid-1/m_c_m_.htm</sup>
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/41009470/helvia/aula/archivos/repositorio/0/56/html/datos/03_Mates/act_mat/act/ud03/0302.htm

NÚMEROS PRIMOS

Los números primos son aquellos que únicamente son divisibles entre 1 y entre sí mismo. (Por divisible entendemos que al ser divido nos salga siempre una división exacta. Esto es, sin decimales)

¿QUIERES SABER CUÁLES SON?

Son aquellos que aparecen resaltados en verde en la imagen

¿TE ENSEÑO ALGUNOS TRUCOS PARA SABER CUANDO ES DIVISIBLE UN NÚMERO?

1. Todos los números pares son divisibles entre 2

2. Si sumo la cifras de un número y el resultado me da un número divisible entre 3, ese número se puede dividir entre 3. Por ejemplo, en el número 36 sumo sus cifras 3+6=9, como 9 es divisible entre 3, también lo será 36.

3. Cualquier número que acabe en 0 o en 5, es divisible entre 5

4. Un número es divisible entre 6, si se puede dividir a la vez entre 2 y 3. Por ejemplo, si tenemos el número 2484 podemos decir que es divisible entre 2 porque es un número par. Además, si sumamos sus cifras obtenemos 18 que es divisible entre 3. Por lo tanto sabremos que también es divisible entre 6. 

5. Para saber si un número es divisible entre 9 hacemos el mismo procedimiento que con el 3, pero nos tendrá que salir un múltiplo de 9.

6. Para comprobar si un número es divisible entre 11, realizamos los siguientes pasos, tomando como ejemplo el número 74921.

a) Sumaremos las cifras de orden impar por un lado 7+9+1=17

b) Sumaremos las cifras de orden par por otro 4+2=6

c) Las restamos entre sí 17-6=11

d) Si el número obtenido es múltiplo de 11, ese número será divisible entre 11.

CÁLCULO APROXIMADO Y REDONDEO

Podemos decir que existen números decimales exactos y todos los demás. La diferencia fundamental es que los números decimales exactos tienen un número finito de decimales y los demás tienen un número infinito de decimales.
Cuando el número de cifras decimales es mayor de lo que necesitamos o es infinito, tenemos que "cortarlas" y nos vemos obligados a aproximarlas. Para ello existen dos métodos básicos: redondeo y truncamiento.

Redondeo
Redondeamos un número decimal cuando lo aproximamos a la unidad más cercana en un cierto número de orden.
Para aproximar un número decimal por redondeo seguimos los siguientes pasos:
1. Elegimos el orden de redondeo.
2. Si la cifra siguiente al orden de redondeo es mayor o igual a 5 añadimos una unidad a la cifra de redondeo.
3. Si la cifra siguiente al orden de redondeo es menor que 5 dejamos la cifra de redondeo como estaba.

Ejemplo
Redondear el número 7'98632145...
- Si tomamos como cifra de redondeo las milésimas, 7'9863, la cifra de redondeo es 6 y la siguiente 2, por tanto el resultado es 7'987.
- Si tomamos como cifra de redondeo la centésima, 7'986, la cifra de redondeo es 8 y la siguiente 6, por tanto el resultado es 7'99


Truncamiento
Para truncar un número decimal sustituimos por ceros todas las cifras que siguen a la cifra por la que queremos realizar el truncamiento.

Ejemplo
Truncar el número 7'9863...
- Truncado a la centésima: 7'9800... = 7'98
- Truncado a la décima: 7'9000... = 7'9


Error en la aproximación decimal
El error es la diferencia entre el número decimal original y el aproximado.

Ejemplo
Original: 7'9863
Aproximado: 7'986
Error = 7'9863 - 7'986 = 0'0003

LOS NÚMEROS DECIMALES

Hasta ahora hemos hablado de  números naturales {1, 2, 3,...} y números enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. Pagamos 5 o 6 €, ha habido una bajada a 3 ^oC o a 4 ^oC. Pero sabemos que también existen más posibilidades: una camiseta puede costarnos 5'25 € o la temperatura puede bajar hasta -3'5 ^oC. Puede bien, estos números que vamos a utilizar forman el conjunto de los números decimales.

La forma más fácil de reconocer los números decimales es verlos como el resultado de realizar la división correspondiente a una fracción, por ejemplo:

Elementos de un número decimal

• Parte entera: son las cifras que están a la izquierda de la coma.
• Parte decimal: es lo que está a la derecha de la coma.

Ejemplo:

52'36 => Parte entera = 52

              Parte decimal = 36

Lectura de números decimales

Ejemplos:
52'36 => 52 unidades y 36 centésimas.
78'329 => 78 unidades y 329 milésimas
0'25 => 0 unidades y 25 centésimas o solo 25 centésimas.

Clases de números decimales

• Decimales exactos: son los números decimales que tienen un número finito de cifras decimales. Por ejemplo, el número 2'4 tiene una sola cifra decimal.
• Decimales periódicos: son los números decimales que tienen infinitas cifras que se repiten periódicamente. Existen dos tipos:

                  - Decimales periódicos puros: son los que tienen el periodo justo después de la coma. Por
                     ejemplo, el número 3'666... es periódico con periodo 6, que se repite a partir de la coma.
                  - Decimales periódico mixto: son los que tienen cifras no periódicas entre la coma y el
                     periodo, es decir, el periodo no comienza justo después de la coma. Por ejemplo, el número
                     7'4555... además de tener el 5 repetido indefinidamente, tiene otro decimal que no se repite.

• Decimales infinitos no periódicos: son los números decimales con infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. Por ejemplo, el número π tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES


SUMA
Para sumar números decimales sólo tenemos que alinear los números en columna sobre las unidades y operar como si no hubiera coma.

7’345 + 2’53

   7’345

+ 2’53  

99’875  

RESTA

Para restar números decimales sólo tenemos que poner los números alineados en columna sobre las unidades y operar como si no hubiera coma. Colocaremos ceros hasta completar el mismo número de decimales.

7'34 - 2'535

 7'34                          7'340

-2'535                      -2'535

                                  4'805

PRODUCTO

Para multiplicar números decimales hacemos la multiplicación como si fueran números enteros y colocamos la coma dejando a la derecha tantos decimales como suma de decimales tengan los factores.

2'345 · 5'3

   2'345     => 2'345 tiene 3 decimales

x     5'3     => 5'3 tiene 1 decimal

    7035

11725  

12'4285    => El resultado tendrá 3 + 1 = 4 decimales.

COCIENTE

Sin decimales en el divisor

Se divide hasta que se baja la cifra del decimal en el dividendo, en ese momento se pone la coma en el cociente y se sigue dividiendo.

Si queremos avanzar en el número de decimales del cociente y no tenemos en el dividendo, tendremos que poner los ceros que hagan falta y continuar.

Con decimales en el divisor

Lo primero que tenemos que hacer es quitar los decimales del divisor.

Para ello multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor.

Una vez hecho esto, hacemos la división de la misma forma que en el apartado anterior.

Para repasar

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/decimales.php

http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_con_decimales.pdf

http://centros.edu.xunta.es/iesportadaauga/orientacion/actividades_recursos_educativos/mates_eso/08.operaciones_con_numeros_decimales.pdf

http://www.aplicaciones.info/decimales/decima.htm

LOS NÚMEROS ENTEROS

¿En qué planta acabará Alicia si coge el ascensor en la planta 3ª, sube 2 plantas y baja 7?

Evidentemente, Alicia terminará dos pisos por debajo de la planta que está a pie de calle. No existe ningún número natural que represente el piso donde acabará Alicia.

Un número por debajo del cero es un número negativo. En nuestro ejemplo, 2 por debajo del cero es -2.

El conjunto de los números enteros (Z) está compuesto por los números negativos y los números naturales.

Z = {... , -100, ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ..., +100, ...}

Representación de los números enteros en la recta

En la recta el cero marca el origen. A la izquierda del cero aparecerán los números enteros negativos y a la derecha del cero los números enteros positivos, es decir, los números naturales.

Opuesto de un número entero

Todo número entero tiene su opuesto, que se corresponde con el simétrico respecto del 0. Por ejemplo, el opuesto de -3 es 3 y el opuesto de 5 a -5.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin el signo. Por tanto, el valor absoluto de un número es siempre positivo:

• El valor absoluto de un número positivo es él mismo.
• El valor absoluto de un número negativo es su opuesto.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Suma y resta de números enteros

Las reglas básicas para sumar y restar números enteros son las siguientes:

1. Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los números y se 

    deja el signo que tienen.

(+a) + (+b) = +(a + b)          (-a) + (-b) = -(a + b)

2. Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los números y se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto.

(+a) + (-b) = +(a - b) si  a  >  b

(+a) + (-b) = -(b - a) si  b  >  a 

3. La resta de dos números enteros es la suma del primero más el opuesto del segundo.

(+a) - (+b) = (+a) + (-b)    (+a) - (-b) = (+a) + (+b)

Producto de números enteros

Para multiplicar números enteros tenemos que:

1. Multiplicar los valores absolutos de los números.

2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos.

División de números enteros

Para dividir números enteros tenemos que:

1. Dividir los valores absolutos de los números.

2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos.

Operaciones combinadas

Tenemos operaciones combinadas cuando en una misma operación hay sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y, a veces, paréntesis y corchetes. Para resolver estas operaciones aplicaremos el siguiente orden:

1. Lo primero que hay que resolver son las operaciones que aparecen dentro de los paréntesis y corchetes. Para calcular las operaciones que hay en su interior se aplican las reglas generales.

2. Se realizan los productos y las divisiones.

3. Si hay varios productos y divisiones encadenados se operan siguiendo el orden de izquierda a derecha.

4. Se realizan las sumas y las restas.

5. Si existen varias sumas o restas encadenadas se operan siguiendo el orden de izquierda a derecha.

Para repasar

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/ejerenterix.htm

http://www.ematematicas.net/openteros.php

http://iespseza.educa.aragon.es/matematicas/paco_soler/Ficheros/Ejercicios/Problemas_enteros1.pdf

http://www.geothesis.com/index.php?option=com_content&view=article&id=807:problemas-propuestos-numeros-enteros&catid=64:tema-3-numeros-enteros&Itemid=140

POTENCIAS

Igual que un producto es una forma matemática más corta de representar un mismo elemento sumado varias veces, una potencia es una manera corta de representar un número multiplicado varias veces. Por ejemplo:

4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁵

^{Si tomamos cualquier número y lo representamos por la letra a, sería:}

a · a · a · a · a = a⁵

^{De una manera más general:}

^{a · a · a · ... · a =} aⁿ

^{Elementos de una potencia}

^{Dada una potencia} a^n:

^{- La base es el factor que se está multiplicando (a)}

^{- El exponente es el número de veces que se multiplica el factor (n)}

^{PRODUCTO DE POTENCIAS}

^{Producto de potencias de distinta base y mismo exponente}

    ^{Para multiplicar dos potencias de distinta base y el mismo exponente se multiplican las bases y se deja el exponente.}

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

^{Producto de potencias de la misma base}

    ^{El resultado de multiplicar potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de exponente la suma de los exponente.}

aⁿ · a^m = a^{n + m}

^{COCIENTE DE POTENCIAS}

^{Cociente de potencias de distinta base y mismo exponente}

^{Para dividir dos potencias de distinta base y el mismo exponente se dividen las bases y se deja el exponente.}

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

^{Cociente de potencias de la misma base}

^{El resultado de dividir potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de exponente la diferencia de los exponentes.}

aⁿ : a^m = a^{n - m}

^{Potencia de una potencia}

^{El resultado de operar una potencia es otra potencia de igual base y exponente el producto de los exponentes.}

(aⁿ )^m = a^{n · m} 

^IMPORTANTE

a¹ = 0

a⁰ = 1

Para repasar

http://www.aplicaciones.info/decimales/potencia.htm

JERARQUÍA DE OPERACIONES

 Andrea y Felipe tienen 60 y 48 huevos respectivamente. ¿Cuántas docenas tienen entre los dos?


Para resolver este problema tenemos dos alternativas:

• Saber cuántas docenas tiene cada uno y sumarlas:

      Andrea => 60 : 12 = 5          Felipe => 48 : 12 = 4              Total => 9 docenas
      Como vimos en el apartado anterior, en una única operación sería:

60 : 12 + 48 : 12 = 5 + 4 = 9 docenas

• Saber cuántos huevos tienen entre los dos y luego dividir para calcular el número de docenas:

                 Total de huevos => 60 + 48 = 108             Total de docenas => 108 : 12 = 9

          Con una sola operación se escribiría de la siguiente forma:

(60 + 48) : 12

           Y se resolvería de la siguiente manera:

(60 + 48 ) : 12 = 108 : 12 = 9 docenas

           Podemos observar que con la segunda alternativa, utilizando paréntesis, se realizan         

           menos operaciones

LA REGLA DE LA JERARQUÍA DE OPERACIONES ES LA SIGUIENTE:

1. Lo primero que debemos resolver son los corchetes y paréntesis, realizando las operaciones de su interior.

2. Se realizan los productos y las divisiones.

3. Si hay varios productos y divisiones encadenados, estos se operan en orden de izquierda a derecha.

4. Se realizan las sumas y restas.

5. Si existen varias sumas o restas encadenadas, estas se operan en orden de izquierda a derecha

Ejemplos:

• 6 · 4 - 8 : 2 : 2 + 3 · 2 · 5 = 24 - 4 : 2 + 6 · 5 = 24 - 2 + 30 = 22 + 30 = 52
• 72 : (2 + 8 : 2) + 8 · 2 = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : 6 + 16 = 12 + 16 = 28 

Para repasar

http://iespseza.educa.aragon.es/matematicas/mariano_benito/ficheros/1ESO/EJERCICIOS%20DE%20OPERACIONES%20COMBINADAS%20CON%20N%C3%9AMEROS%20NATURALES%E2%80%A6.pdf

http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf

http://adigital.pntic.mec.es/~aramo/calculo/coc01_10.htm

NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales se representa por la letra N y se correponde con el siguiente conjunto de números:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 20, ..., 1000, ...}

Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar números naturales, no es propiamente un número natural.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Y SUS PROPIEDADES

SUMA

Si tengo un cesto con 14 peras y otro cesto con 32 peras, al sumar los dos cestos tendré en total 46 peras.

14 + 32 = 46

Se utiliza la suma de números naturales cuando queremos añadir dos o más cantidades.

Propiedad conmutativa de la suma

Si cambio el orden de los sumandos la suma no varía

a + b = b + a

RESTA

Si en el cesto en que tenía 32 peras hay 17 podridas, ¿cuántas peras sanas me quedan?

32 - 17 = 15

Se utiliza la resta de números naturales cuando a una cantidad le queremos sustraer otra cantidad.

MULTIPLICACIÓN

En una caja caben 12 rotuladores. Si tengo 6 cajas, ¿cuántos rotuladores tengo?

Tenemos dos alternativas:

• Sumar el contenido de cada caja:

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 72 rotuladores

• Utilizar la multiplicación. La suma anterior es equivalente a multiplicar los libros que caben en cada caja por el número total de cajas:

12 · 6 = 72

Propiedad conmutativa de la multiplicación

Si cambio el orden de los factores el resultado no varía.

a · b = b · a

DIVISIÓN

Queremos empaquetar 36 marcos de fotos en cajas de 4 marcos cada una.

En este caso, utilizaremos la división para repartir los 36 marcos en varias cajas iguales, para obtener el número de cajas que necesitamos.

36 : 4 = 9 cajas

En nuestro ejemplo no sobra ningún marco de libros, por tanto, tenemos lo que llamamos división exacta.

También podría ocurrir que en vez de tener 36 marcos tuviéramos 38. Tendríamos que utilizar también 9 cajas, pero nos sobrarían 2 marcos (resto). En este caso hablaríamos de división entera.

Propiedad  fundamental de la división entera

En una división entera se cumple  la siguiente igualdad:

Dividiendo = divisor · cociente + resto, con resto < divisor.

Para practicar

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/grado_1.php

http://www.educaplus.org/play-172-Pincha-globos-Sumas-y-Restas.html

http://aulapt.files.wordpress.com/2008/04/problemas.pdf

http://www.dibujosparapintar.com/actividades_ejercicios_sumas_restas.html#

http://www.interpeques2.com/peques5/problemas/multidivi.htm

http://math.cilenia.com/es

NÚMEROS ROMANOS

Además del sistema decimal, el sistema de numeración para expresar números naturales que nos resulta más conocido son los números romanos. Este sistema utiliza letras para representar números cuya equivalencia con el sistema decimal es la siguiente:

Las reglas prácticas para usar los números romanos son las siguientes:

• Los valores de las letras I, X y C se suman.
• Las letras I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces seguidas.
• Las letras V, L y D solo se pueden poner una vez.
• Si una letra está a la derecha de otra de mayor valor se suman sus valores.
• Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor se restan sus valores.
• Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil